Zusammenhang von Dezibel, Neper und Logarithmen

Eugen Paulin, Luxemburg

In den 50er Jahren wurde der Wirrwarr der verschiedenen Einheiten, die aus den vergangenen Jahrhunderten übernommen waren, überarbeitet und 1954 auf die Grundeinheiten Meter [m], Kilogramm [kg] , Sekunde [s], Ampere [A], Kelvin [K] und Candela [C] zurück geführt. Das MKSAKC – System – oder seit 1960 auch SI – nach Système International d`Unitès – genannt, ist seit 1970 in Deutschland gesetzlich vorgeschrieben.

Es verschwanden daher so bekannte Einheiten wie z.B. Kalorie [Kal] (wurde durch Joule [J] ersetzt) und Pferdestärke [PS] (wurde durch Watt [W] ersetzt).

Dabei verlor auch die Einheit Neper [N], die im Bereich Eektrotechnik als Einheit für Spannungsverhältnisse eingesetzt wurde, ihre Bedeutung und wurde durch Dezibel [dB] (=1/10 der Einheit Bel) ersetzt, weil sich mit dB leichter rechnen lässt.

Der Grund ist folgender:

    • dem Bel respektive dem Dezibel liegen die Briggs‘schen Logarithmen mit der Basis 10 zu Grunde. (Briggs, englischer Mathematiker, Erfinder der 10er Logarithmen).
    • dem Neper liegen die natürlichen Logarithmen mit der Basis e = 2.718… zu Grunde. (“Nepero” ist die lateinische Form des Namens Napier, Baron of Merchiston, schottischer Mathematiker, Erfinder der Logarithmen mit Basis e).

Daher sind Bel und Neper durch genau den gleichen mathematischen Faktor verbunden wie die 10er Logarithmen [log] und die natürlichen Logarithmen [ln]:

Briggs’che Logarithmen [log] = natürliche Logarithmen x 0.4343

Natürliche Logarithmen [ln] = 10er Logarithmen x 1 / 0.4343

Hinweis: 1 / 04343 = ln 10 = 2.3026

Grundsätzlich ist also:
Dezibel = Neper x 0.4343
Neper = Dezibel x 1 / 0.4343

Aber: da das Dezibel [dB] (= 0.1 Bel) für Leistungsverhältnisse benutzt wird, und das Neper [N] für Spannungs- und Stromverhältnisse benutzt wurde, ändert sich die Relation zwischen dB und Neper wie folgt:

+ 1 dB bedeutet eine Multiplikation mit 10-te Wurzel(10) = 1.26 (das heißt + 26%)
dB   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7  +8  +9 +10
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       1 1.26 1.6  2   2.5  3.2  4    5   6.3  8   10

P1
P2  Leistungsverhältnis (wobei P1>P2 ist à Verstärkung)
-1 dB bedeutet eine Multiplikation mit 1 / 10-te Wurzel(10) = 0.8 (das heißt -20%), also eine Division.

dB   0   -1   -2   -3   -4   -5   -6   -7   -8   -9   -10
        |    |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
       __________________________________
        |    |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
        1  0.8      0.5 0.4 0.32      0.2 0.16      0.1
                0.63                 0.25           0.126

P1
P2 Leistungsverhältnis (wobei P1<P2 ist à Abschwächung)


Dezibel kann jedoch auch für Spannungs- und Stromverhältnisse benutzt werden und somit statt Neper verwendet werden. Dabei entsprechen die Werte der in Dezibel ausgedrückten Verhältnisse immer noch den Verhältnissen der Leistung, jedoch bedeutet nun eine Veränderung um +3 dB nicht mehr das Doppelte, respektive –3 dB die Hälfte, sondern +6 dB ergibt jetzt das Doppelte, respektive –6 dB die Hälfte.

Begründung:

In der Physik (Elektrotechnik) errechnet sich die Leistung P, welche an einem ohmschen Widerstand R in Wärme umgesetzt wird durch die Gleichung

P = I2 x R wenn der Strom I der durch den Widerstand R fließt gemessen wird

respektive

P = U2 / R wenn der Spannungsabfall U über dem Widerstand R gemessen wird.

+ 1 dB bedeutet in diesem Fall eine Multiplikation mit 20-te Wurzel(10) = 1.12 (das heißt + 12%)

dB   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7  +8  +9  +10  +11  +12  +13  +14  +15  +16  +17  +18  +19  +20
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       1.0     1.26       1.6       2.0       2.5        3.2           4.0           5.0           6.3            8.0         10.0
            1.12      1.4       1.8       2.2       2.8         3.6            4.5           5.6          7.1             8.9

U1
U2 Spannungsverhältnis (wobei U1>U2 ist à Verstärkung)

– 1 dB bedeutet nun eine Multiplikation mit 1 / 20-te Wurzel(10) = 0.89 (das heißt -11%)

dB   0   -1   -2   -3   -4   -5   -6   -7   -8   -9   -10  -11    -12   -13  -14    -15   -16   -17    -18   -19  -20
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       |   |    |    |    |    |   |    |    |    |    |     |      |     |     |      |     |     |      |     |     |
        1.0      0.8       0.63     0.5       0.4       0.32         0.25          0.2          0.16          0.126        0.1
            0.9        0.7       0.56   0.45      0.36      0.28          0.22          0.18         0.14          0.112

U1
U2 Spannungsverhältnis (wobei U1<U2 ist à Abschwächung)

Und nun zur veralteten Einheit Neper [N]:

1 Neper ist gleichbedeutend mit dem Faktor e = 2.71…

Zum Spannungsverhältnis U1 / U2 gehört ln (U1 / U2) Neper [N]

N      0 0.5 1.0 1.5  2.0 2.5 3.0  3.5 4.0 4.5 5.0
        |    |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
       __________________________________
        |    |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
       1 1.65 2.7 4.5 7.4  12  20  33   55  90 149

U1
U2 Spannungsverhältnis (wobei U1>U2 ist à Verstärkung)

N     0  0.5 1.0 1.5 2.0 2.5  3.0 3.5 4.0  4.5  5.0
        |    |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
       __________________________________
        |    |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
          1  0.61 0.37 0.22 0.135     0.05        0.018       0.0067
                                            0.083       0.03         0.011

U1
U2 Spannungsverhältnis (wobei U1<U2 ist à Abschwächung)

In der Fernmeldetechnik wurde früher das Neper benutzt, um die Dämpfung (Abschwächung) der Telefon- und Telegraphenleitungen und Kabel anzugeben. Heute benutzt man dafür das Dezibel, weil es mathematisch viel einfacher zu handhaben ist, da es, wie vorher erläutert, auf den 10er Logarithmen aufbaut.

Die Dämpfung wurde in Neper pro Kilometer N / km angegeben.

Man kann sie aber genau so gut z.B. in Dezibel pro 100 Meter dB / 100m angeben.

Die Umrechnung ist wie folgt:

    • für den Übergang von Neper (natürlicher Logarithmus) auf Dezibel (10er Logarithmus) muss der Neperwert mit 0.4343 multipliziert werden, analog zu

lg = ln x 0.4343

    • dann muss diese Ergebnis mit 2 multipliziert werden, denn Neper bezieht sich auf Spannungen oder Strömen, Dezibel hingegen auf Leistungen.(siehe Page 2 of 3)
    • Der Faktor 10 von Dezibel (= 0.1Bel) wird kompensiert durch den Unterschied in der Bezugslänge (0.1km statt 1km).

Der Gesamtumrechnungsfaktor ist daher 0.4343 x 2 = 0.8686, also 1N/km = 0.8686 dB/100m

N/km              1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
                       |    |    |    |   |    |    |    |     |    |
                      __________________________
                       |    |    |    |   |    |    |    |     |    |
dB/100m       0.87 1.7 2,6 3.5 4.3 5.2 6.1  7.0  7.8  8.7

Zusammenfassung:

log = ln x 0.4343 à daher 1Bel = 1Neper x 0.4343.

Aber bei Leistungsverhältnis ist 1Bel = 1Neper x 0.8686 wegen U2 respektive I2 bei der Leistung. (Quadrat bedeutet x2 beim Logarithmus).

Also ergibt sich folgende Umrechnung:

1Neper = 0.8686 Bel = 8.686 dB

1dB = 1 / 8.686 = 0.115 Neper

1 Neper ist ein 2.718… -faches Strom- oder Spannungsverhältnis,

aber ein e2 = 2.7182 = 7.93 -faches Leistungsverhältnis.

Oder man benutzt folgende Umrechnung, welche zum gleichen Ergebnis führt:

1 Neper entspricht einem Leistungsverhältnis von 1.2598.686 = 7.39

1 Dezibel entspricht einem Leistungsverhältnis von 10-te Wurzel(10) = 1.259 = 25.9 %

aber einem Strom- oder Spannungsverhältnis von 20-te Wurzel(10) = 1.122 = 12.2 %